برنامج لتحليل عدد طبيعي إلى جداء عوامل أولية

قابلية
القسمة:
نقول عن عدد طبيعي ما أنه يقبل القسمة على عدد آخر إذا كان ناتج قسمة
الأول على الثاني
عدد طبيعي والباقي صفر (بدون باقي)، ونقول أن الثاني قاسم للأول .
أمثلة:
( ٤
(والباقي صفر) وبالتالي نقول ( ١٢ يقبل القسمة على ٣)أو( ٣ قاسم ل ١٢
=٣ ÷ ١٢
.( ٣
(والباقي ١) وبالتالي نقول ( ٧ لا يقبل القسمة على ٢) أو( ٢ ليس قاسم ل
٧ =٢ ÷ ٧
فففكككررر:::
هل يقبل العدد ١٤ القسمة على ٤ ولماذا؟
هل يقبل العدد ٢٧ القسمة على ٩ ولماذا؟
؟ اكتب ثلاثة أعداد تقبل القسمة على ٥
؟ اكتب أربعة قواسم للعدد ٣٠
أأألالالاحححظظظ:::
• إ ذا قسمنا أي عدد طبيعي على واحد يكون الناتج العدد نفسه والباقي صفر :
٩ والباقي ٠ ....... إلخ. =١÷٩ ، ٧والباقي ٠ =١÷٧
ومنه: كل عدد طبيعي يقبل القسمة على العدد ١
• إ ذا قسمنا أي عدد طبيعي على نفسه يكون الناتج العدد ١ وبدون باقي:
١
... إلخ. =٢٤÷٢٤ ،١=١٧÷١٧ ،١=٤÷ مثال: ٤
ومنه: كل عدد طبيعي يقسم نفسه
٢
• إ ذاً : كل عدد طبيعي يقبل القسمة على نفسه والعدد ١
؟ والآن لنتساءل: ما هو عدد قواسم العدد ٦
٦
(تحقق) وبالتالي يوجد للعدد ٦ أربع ،٣ ،٢ ، إن العدد ٦ يقبل القسمة على
الأعداد التالية: ١
قواسم.
؟ وما هو عدد قواسم للعدد ٣
إن الأعداد التي تقسم ٣ هي ١،٣ أي أنه لا يقبل القسمة إلا على نفسه
والعدد ١ أي أن له
قاسمين اثنين فقط.
أي أن: بعض الأعداد الطبيعية (الأكبر من ١) لها قواسم متعددة وبعضها
لا يقبل القسمة إلا
على نفسه والواحد.
إن الأعداد التي لا تقبل القسمة إلا على نفسها والواحد لها أهمية خاصة
في علم الرياضيات لذلك
سنعيرها اهتماماً خاصاً وسنطلق عليها من الآن فصاعداً اسم (الأعداد
الأولية).
ومنه يمكن أن نعطي العدد الأولي التعريف التالي:
العدد الأولي: هو كل عدد طبيعي يقبل القسمة فقط قاسمين مختلفين هما
العدد ١ والعدد نفسه.
ينتج من التعريف:
١١ أولية
لأن كل منها لا يقبل القسمة إلا على نفسه وعلى العدد ١ ،٧ ، • ا لأعداد ٣
.٨ ،٤ ،٢ ، • ا لعدد ٨ ليس أولي لأن يقبل أربع قواسم: ١
• ا لعدد ١ ليس أولياً لأنه يقبل قاسماً واحداً فقط (هو العدد ١ نفسه).
• ا لعدد ( ٠) ليس أولياً لأنه يقبل عدد غير منته من القواسم.
: تعيين الأعداد الأولية الأصغر من ١٠٠
لتعيين جميع الأعداد الأولية الأصغر من عدد معين (وليكن ١٠٠ ) ننظم
جدولاً بجميع الأعداد
: من ٢ إلى ١٠٠
٣
(... ٨ ،٦ ، ١) ن بدأ بالعدد ٢ ونشطب جميع مضاعفاته عداه ( ٤
٢)
ن نتقل أول عدد غير مشطوب (في هذه الحالة ٣) ونشطب جميع مضاعفاته غير
المشطوبة.
٣)
ن تابع العمل كما في الخطوة السابقة حتى نصل إلى عدد مربعه أكبر من
١٠٠ ، يعني
١٠٠ <
١٢١
= ٢ ١١
ونتوقف لأن ١١ ،٧ ، نشطب مضاعفات الأعداد ٥
إن الأعداد غير المشطوبة هي الأعداد الأولية الأصغر من ١٠٠ وهي:
،٧١ ،٦٧ ،٥٩ ،٥٣ ،٤٧ ،٤٣ ،٤١ ،٣٧ ،٣١ ،٢٩ ،٢٣
،١٩ ،١٧ ،١٣ ،١١ ،٧ ،٥ ،٣ ،٢
٩٧ ،٩١ ،٨٩ ،٨٣ ،٧٩ ،٧٣
كيف نتعرف على عدد أولي:
لمعرف أن عدد ما أولي أو لا نتبع الطريقة التالية:
(... • ن قسم العدد على الأعداد الأولية حسب ترتيبها التصاعدي (نبدأ ب ٢ ثم ٣
• إ ذا قبل العدد القسمة على أي من الأعداد الأولية نتوقف ونقول أن
العدد غير أولي
• إ ذا لم يقبل العدد القسمة على جميع الأعداد الأصغر من جذره نقول أن
العدد أولي
٤
مثال: هل العدد ١٩٧ أولي؟
الحل:
١٩٧ >
١٩٦
= ٢ نلاحظ أن ١٤
١٩٧
(نختار أقرب عدد مربعه أكبر أو يساوي العدد المفروض) < ٢٢٥
= ٢ ١٥
،٧ ،٥ ،٣ ، إذن يجب أن نختبر قابلية قسمة على
جميع الأعداد الأولية الأصغر من ١٥ وهي ٢
هل يقبل ١٩٧
القسمة على: ٢
لجواب لا
ا
إذاً ١٩٧ لا يقبل القسمة على أي عدد من الأعداد الأولية الأصغر من
جذره وبالتالي يكون ١٩٧
عدد أولي.
وأخيراً نتمم هذه المقدمة في الأعداد الأولية بعرض هذه المبرهنة:
مبرهنة: كل عدد طبيعي س غير أولي يقبل على الأقل قاسماً أولياً ع يحقق
ع ٢ ≤ س

تحليل عدد طبيعي إلى جداء عوامل أولية:
رأينا أن جميع الأعداد الطبيعية الأكبر من ١ تنقسم إلى مجموعتين:
( أ عداد أولية لا تقبل إلا قاسمين (العدد نفسه والعدد ١ -
( أ عداد غير أولية لها قواسم متعددة (بالإضافة إلى العدد نفسه والعدد ١ -
الآن دعنا نلقي الضوء على النوع الثاني من هذه الأعداد وهو الأعداد
المركبة:
لنأخذ مثلاً العدد ٦ ولنوجد مجموعة قواسم هذا العدد:
٦}
نلاحظ أن بعض هذه القواسم هي أعداد أولية وهما ،٣ ،٢ ، إن قواسم العدد
٦ هي { ١
٣ أي أننا استطعنا أن نكتب العدد ٦ على شكل × ٢ = ٣}، نلاحظ أيضاً أن ٦
، العددان { ٢
جداء من قواسمه (عوامله) الأولية.
٥
{ ٨}
، القواسم الأولية هي: { ٢ ، ٢ ، لنأخذ العدد ٨:
إن قواسم العدد ٨ هي { ١
الآن: هل يمكن أن نكتب العدد ٨ على شكل جداء من عوامله الأولية ؟
٣ وبذلك نكون قد حصلنا على المطلوب. ٢ = ٢ × ٢ × ٢ = نلاحظ أن ٨
تسمى هذه العملية: تحليل العدد إلى جداء عوامل أولية.
وقد أثبت العلماء أننا يمكن أن نطبق هذه العملية على جميع الأعداد
الطبيعية غير الأولية الأكبر
من ( ١) أي:
كل عدد طبيعي غير أولي أكبر من ( ١) يمكن تحليله إلى جداء عوامل أولية
طريقة تحليل عدد إلى عوامله الأولية:
١)
ن قسم العدد على أصغر عدد أولي يكون قاسماً له.
٢)
ن قسم حاصل القسمة على أصغر عدد أولي يكون قاسماً له.
.( ٣)
ن كرر عمليات القسمة هذه حتى نصل إلى حاصل قسمة يساوي ( ١
٤)
كتابة جداء قوى هذه القواسم هو تحليل العدد إلى جداء عوامل أولية.
مثال: حلل العدد ٧٩٢ إلى جداء عوامل أولية.
الحل:
( ٧٩٢ عدد زوجي
يقبل القسمة على ٢ وهو أصغر عدد أولي يقسم ٧٩٢ )
(عدد زوجي يقبل القسمة على ٢
(لا يقبل القسمة على ٢، نجرب العدد الأولي التالي وهو ٣ وبالفعل ٣ يقسم
٩٩
( ١١ عدد أولي
لا يقبل القسمة إلا على نفسه والعدد ١
)
(ناتج القسمة يساوي ١ ، نتوقف وبذلك تنتهي عملية التحليل)
١١
× ٢ ٣ × ٣ ٢ = ١١
× ٣
× ٣
× ٢
× ٢
× ٢
= إذاً: ٧٩٢
والآن دعنا نناقش النظرية التالية المتعلقة بموضوع تحليل العدد إلى
عوامله الأولية:٦
ليكن أ، ب عددين طبيعيين كل منهما أكبر من ( ١)، يكون العدد ب قاسماً
للعدد أ إذا كان كل
عامل من العوامل الأولية في تحليل العدد ب موجوداً في تحليل العدد أ
وبأس أصغر منه أو
يساويه.
موجود في أ
وبأس أكبر منه
موجود في أ
و أ بس يساويه
موجود في أ
وبأس أكبر منه
غير موجود
في ب
وبالتالي يكون ب قاسم ل أ.
والآن لنأخذ:
١١
×٢ ٧×٥ ٣×٣ أ =٢٥×٢ ٣×٤ ج =٢
موجود في أ
وبأس أصغر
منه
موجود في أ
وبأس أكبر منه
غير
موجود
في أ
غير موجود في
ج
غير موجود
في ج
وبالتالي ج لا يقسم أ.